PC再インストールでライセンス認証されません

インストールしたのはWindows10のProでしょうか? Homeでしょうか?

もしかしたらエディションの違いかもしれません。
どちらをインストールしたのか分かりませんが、違うエディションで試してみてください。

LenovoのノートPCって、ＢＩＯＳにライセンスキーが入れられていたはずですので、電源を入れてＢＩＯＳを起動させてみてください。

確か、BIOSメニューのどこかは忘れましたが、入力されていたはずです。
それをとりあえずメモの残しておく。
再度、認証を行ってみる。
認証が出来なかった場合は、再度、Windows１０を入れ直してみる。
Onekeyを押しながら電源ボタンで出来たはず。

再インストールしたとありますが・・・・ひょっとしてですが、
マイクロソフトの所からWindows10をダウンロードして保存し、それを利用して再インストールしませんでしたよね？
良く付属されている取扱説明書等々を読まれない方にありがちなことなのですが・・・・
そうすると、ライセンス認証が通らないのも納得できます。

とりあえず、Lenovo OneKey Recoveryに関しては、製品が違ってもやる事・出来る事・表示されるメッセージは同じなので、少し製品名は違いますが載せておきます。

https://download.lenovo.com/consumer/mobiles_pub/yoga_300-11ibr_ug_ja_201509.pdf?linkTrack=PSP:ProductInfo:UserGuide

すでに回答はありますが
Windows8以降は
プロダクトキーは
マザーボードにあります。

恐らくは質問者さんも
そこは理解されているかも
ですけど

多分、それはハードウェアの
故障と自分は見ます。

メーカー修理に出されるか
もしくはWindows10以外の
他のOSのインストールを
試みるかの二択でしょうね。

Windows10なら、再インストール後インターネットを通じてMicrosoftのサーバーとやり取りを開始します。再インストール前と後で「ほぼ同じ機体(*)」ならば認証されるはずです。再インストール時のプロダクトキーは空白のままで構いませんので、未入力のままで「次へ」と進めます。
リカバリ用ディスクないしUSBメモリを予め作成してあるなら、再インストールよりもリカバリの方をお勧めします。
* ほぼ同じ機体と言うのは、HDDの交換やメモリの追加等の軽微な機器変更や機器追加を指します

因みに、Windows8以降は、PCの筐体にプロダクトキーは添付されていません。

クリーンインストールではなくリカバリーしてください。メーカー製パソコンはリカバリーしないと認証状態にはなりません。Windows8以降のパソコンにはWindowsのプロダクトキーシールはありません。リカバリー以外の方法では認証出来ません。