モニター画面が映らず、セットアップ出来ない

経験上、モニタが1920X1080未満（今回お使いのモニタは1400x900なので該当）の場合、DVI-D以外で接続すると、PC側がモニタ側が対応していない解像度を出力してしまい、範囲外入力またはNO SIGNAL等で映らない場合があります。

また、さすがにこれはないと思いますが、ブラウン管時代の古いRGBケーブル、RGB延長ケーブルはDDCに対応しておらず(ピンが結線していない)、PCが適切にモニタ側のスペックを読み取れないものがあります。

PC/モニタともにDVI-Dではこの問題は起きたことがないのですが、今回のケースだとPC側にDVDがないので難しいですね。DisplatyPort→DVIのパッシブ変換ケーブルを使えばいけそうな気もしますが、保証はできません。
https://www.amazon.co.jp/dp/B00B2HOVAA

または、お手数ですが、フルHDのディスプレイがある所へ持ち込んで、セットアップして画面解像度を1400x900に設定してから、F19W1Aに接続してみてください。

ディスプレイと本体は、私のPCと同じシリーズですね。
私のPCはF20W1Aのモニターを使用しています。
モニターにDVI-D端子があると思いますので、
そこに接続して、反対側のUSB端子はPCに接続して下さい。
詳しいことは、モニターの取説(セットアップマニュアル)を
ご確認下さい。
私のPCはその方法で無事に接続できました。

PCとディスプレイの接続には、どの端子を使われていますか？

ディスプレイの仕様を見てみると

http://121ware.com/navigate/direct/tmd/091q/share/spec/valuestar/display.html

> HDCPの規格変更等が行われた場合、本製品が故障していなくても、DVI入力端子の映像が表示されないことがあります。

という記述があります。

もし、DVIで接続されているなら、ここに引っかかっているのかもしれません。
とりあえず、アナログ接続（D-Sub）で映るかどうか試してみてはいかがでしょうか？

>新しいパソコンは、LAVIE Direct DT
出来ればPC-GD348ZZD9みたいな正確な型番と購入時にGPU（グラフィック
アクセラレータ）の選択とかが出来たとおもうのでどれを選択したとか書いた方が良いかも。

>ディスプレイはNECのF19W1Aです。
http://121ware.com/navigate/direct/tmd/091q/share/spec/valuestar/display.html
ディスプレイの仕様と
http://nec-lavie.jp/navigate/products/pc/163q/09/lavie/dt/spec/index.html
http://nec-lavie.jp/navigate/products/pc/163q/09/lavie/dt/interface/index.html
PC側の仕様を見る限りは接続して使用できる感じはしますね。

本機のDisplayPort端子は添付の変換アダプタおよび添付のディスプレイのみ動作確認を行っております。すべての外部ディスプレイとの動作を保証するものではありません。

と言う記載もあるのでうまく動作しない事もあるのかも知れません。