MFC5890Cの黒色が出ない

>在庫してあったMFC5890C
MFC-5890CN でしょうか
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc5890cn

率直に言って予後はかなり厳しいです...
開梱もしていない未使用状態だったのでしょうか？
だとすると、2008年のモデルで、12年近くの在庫インクだと、
密封されているとは言え、溶剤が揮発して粘度が上がっていたと思われます。
ブラザー機はCMYは染料なので、多少融通は利くかもしれませんが、
BKインクは顔料なので、揮発の面でも不利です。
初期設定はセットアップ用インクが必要なので、
初期設定だけとりあえず行ったら、
すぐにすべてのインクを交換して新鮮なインクで運用したいところでした。

>洗浄剤を入れたところ
これは絶対に避けるべきでしたね...
すでに噴射機構に溶剤が入り込んでいますが、
いまから純正品に戻しても噴射機構に残る溶剤のせいで
本来の濃度が出ず、当面の間まともに使えないです。
これを回復させるためにクリーニングを繰り返すことになりますが、
十分な濃度が回復しないまま
廃インク吸収パッドが満杯になって動作しなくなります。

交換は修理が必要ですが、
2016年3月をもって修理期間は満了しており、
交換修理が受けられないので打つ手がなくなると思います。

一晩放置すれば、乾燥してこびり付いたインクが溶けて、クリーニングで解消できるようになるかもしれません。

私はブラザー殿のプリンタのユーザーではないので詳しくないのですが、クリーニングキットはメーカーの純正品ですか？
サードパーティーの互換性インクと同様、サードパーティー品は使わない方が良いと言う人も少なくないのでご注意ください。